用 Python 計算指數和對數

指數

指數的計算，例如 3 的 5 次方，在 Python 裡可以用 3 ** 5，或是 pow(3, 5) 來表示。

In [1]: 3 ** 5
Out[1]: 243

In [2]: pow(3, 5)
Out[2]: 243

In [3]: 2.7 ** 3
Out[3]: 19.683000000000003

In [4]: pow(2.7, 3)
Out[4]: 19.683000000000003

In [5]: 3.2 ** 5.1
Out[5]: 376.93363218792746

In [6]: pow(3.2, 5.1)
Out[6]: 376.93363218792746

比較特別的是，pow(1.0, x) 或 pow(x, 0.0) 結果都會是 1。即使 x = 0 也是如此。

In [1]: pow(1, 3)
Out[1]: 1

In [2]: pow(1, 0)
Out[2]: 1

In [3]: pow(1, -3)
Out[3]: 1.0

In [4]: pow(1, 3.4)
Out[4]: 1.0

In [5]: pow(3, 0)
Out[5]: 1

In [6]: pow(3.2, 0)
Out[6]: 1.0

In [7]: pow(-2.4, 0)
Out[7]: 1.0

In [8]: pow(0, 0)
Out[8]: 1

In [9]: pow(0, 3)
Out[9]: 0

In [10]: pow(1.0, 3)
Out[10]: 1.0

對數

對數的計算，可以用 log() 這個函數，使用 Python 裡的這個函數，必須先 import 一個叫做 math 的函式庫 (library)。如下，輸入：

In [1]: import math

就可以在接下來的程式中使用 math 裡的函數。

例如，要計算自然對數 log(12)，就是以 e 為底數的對數，其中 e = 2.71828…。

In [2]: math.log(12)
Out[2]: 2.4849066497880004

如果要計算以 10 為底數的對數，可以用 log10() 這個函數。如：

In [3]: math.log10(1000)
Out[3]: 3.0

如果計算以其它數為底數的對數，可以用 log(x, base)，由數學知識我們知道，它傳回的值會等於 log(x)/log(base)，如：

In [5]: math.log(49, 7)
Out[5]: 2.0

In [6]: math.log(2134, 9)
Out[6]: 3.4888347376649085

In [7]: math.log(2134) / math.log(9)
Out[7]: 3.4888347376649085

開平方根，可用 sqrt(x) 這個函數。它也會等於 x 的 0.5 次方。

In [3]: math.sqrt(16)
Out[3]: 4.0

In [4]: pow(16, 0.5)
Out[4]: 4.0

In [5]: 16 ** 0.5
Out[5]: 4.0

pow() 和 math.pow() 的異同

在 math 這個函式庫裡，也有一個指數函數 math.pow(x,y)。用這個函數計算時，系統會將 x 和 y 都轉為浮點數計算。

In [2]: math.pow(3, 4)
Out[2]: 81.0

In [3]: pow(3, 4)
Out[3]: 81

In [4]: 3 ** 4
Out[4]: 81

在 pow(x, y) 中，如果 x 是負數，y 是正整數或負整數。會如何呢？

In [19]: pow(-3, 2)
Out[19]: 9

In [20]: pow(-3, -2)
Out[20]: 0.1111111111111111

In [21]: math.pow(-3, 2)
Out[21]: 9.0

In [22]: math.pow(-3, -2)
Out[22]: 0.1111111111111111

In [23]: pow(-3.2, 2)
Out[23]: 10.240000000000002

In [24]: pow(-3.2, -2)
Out[24]: 0.09765624999999999

In [25]: math.pow(-3.2, -2)
Out[25]: 0.09765624999999999

然而，若 x 是負數，但是 y 不是整數時，會如何呢？這是用內建的 pow() 計算，仍會算出答案，而答案是個虛數。但是用 math.pow() 計算時，則會出現錯誤訊息。

In [29]: pow(-3.2, -2.1)
Out[29]: (0.08267826817433492-0.026863797780267644j)

In [30]: math.pow(-3.2, -2.1)
Traceback (most recent call last):

  File "", line 1, in 
    math.pow(-3.2, -2.1)

ValueError: math domain error


In [31]: pow(-1.0, 0.5)
Out[31]: (6.123233995736766e-17+1j)

In [32]: math.pow(-1.0, 0.5)
Traceback (most recent call last):

  File "", line 1, in 
    math.pow(-1.0, 0.5)

ValueError: math domain error

在數學上，指數函數 f(x) = a^x 的定義是 a > 0, 且 a ≠ 1，而 x 是實數。
在初學階段，我們先考慮符合指數函數定義的情形。

e 的 n 次方

自然底數 e 是理化上常用的常數，如要計算 e 的 n 次方，可以用 exp(n) 這個函數。

In [9]: math.exp(4)
Out[9]: 54.598150033144236

In [10]: math.e ** 4
Out[10]: 54.59815003314423

在 Python 裡是以 math.e 來代表自然底數 e 這個常數。

In [11]: math.e
Out[11]: 2.718281828459045

另一個常用的常數是圓周率 π，是以 math.pi 來表示。

 In [2]: math.pi
 Out[2]: 3.141592653589793

參考閱讀：
https://docs.python.org/3.8/library/math.html

指數

對數

pow() 和 math.pow() 的異同

e 的 n 次方

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